高阶矩与协方差矩阵

Moments and Covariance Matrix Visualization

一阶原点矩 ($E[X]$)：即均值。它决定了整个点云在横轴上的平移位置。

二阶中心矩 ($Var(X)$)：衡量数据的扩张程度。

三阶中心矩 ($\mu_3$)：这是本次演示的亮点。当你通过 skew 滑块调整时，点云会变得“头重脚轻”。正偏时，数据右侧会出现长尾，$\mu_3$ 变为正值。

四阶中心矩 ($\mu_4$)：反映峰部的尖锐度和尾部的厚度。由于其是四次方，它对异常值（离群点）极其敏感。

描述分布的“重心”：

$$\nu_1 = E[X^1] = \mu$$

描述分布的“散度”：

$$\mu_2 = E[(X-E[X])^2] = \sigma^2$$

描述分布的“对称性”：

$$\mu_3 = E[(X-E[X])^3]$$

正值右偏（长尾在右），负值左偏。

描述分布的“尾部厚度”：

$$\mu_4 = E[(X-E[X])^4]$$

对于随机向量 $\mathbf{X} = [X, Y]^T$，其对称矩阵定义为：

$$\Sigma = \begin{bmatrix} Cov(X,X) & Cov(X,Y) \\ Cov(Y,X) & Cov(Y,Y) \end{bmatrix}$$

注：对角线为方差，非对角线为协方差。该矩阵必为半正定。

动态分布形态观察

调节下方参数，观察 $X$ 轴分布的各阶矩变化

$\nu_1$ (均值)

0.00

$\mu_2$ (方差)

0.00

$\mu_3$ (偏矩)

0.00

$\mu_4$ (峰矩)

0.00