概率论可视化
条件概率、独立性与全概率的交互式探索
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📊 概率数据
P(A):
P(B):
P(A∩B):
P(A|B) = P(A∩B)/P(B):
P(B|A) = P(A∩B)/P(A):
P(B₁):
P(B₂):
P(A|B₁):
P(A|B₂):
P(A) = P(A|B₁)P(B₁) + P(A|B₂)P(B₂):
条件概率公式：
P(A|B) =
=
当事件B发生时，A发生的概率是交集在B中的比例
全概率公式：
P(A) =
+
=
事件A的总概率是通过所有可能路径的概率加权和
📌 观察： 调整滑块改变P(A)、P(B)和P(A∩B)。当独立事件开启时，P(A∩B)会自动计算为P(A)×P(B)。 蓝色圆圈代表B，红色圆圈代表A，紫色重叠区域代表A∩B。条件概率P(A|B)就是紫色区域占蓝色圆圈的比重。
📌 观察： 这是一个概率决策树。B₁和B₂是互斥且完备的事件（原因），A是结果。 每条路径的概率是条件概率与先验概率的乘积。P(A)是所有能到达A的路径概率之和。
📖 全概率公式推导过程
步骤 1：理解前提条件
设事件组 B₁, B₂, ..., Bₙ 是样本空间 Ω 的一个划分（即 Bᵢ 互不相容且 ∪Bᵢ = Ω）
对于任意事件 A，我们有：
步骤 2：分解事件 A
A = A ∩ Ω = A ∩ (∪Bᵢ) = ∪(A ∩ Bᵢ)
由于 Bᵢ 互不相容，则 A ∩ Bᵢ 也互不相容
步骤 3：应用概率的可列可加性
P(A) = P(∪(A ∩ Bᵢ)) = ∑P(A ∩ Bᵢ)
步骤 4：应用乘法公式
对每一项使用乘法公式：P(A ∩ Bᵢ) = P(A|Bᵢ)P(Bᵢ)
最终公式：
P(A) = ∑ P(A|Bᵢ)P(Bᵢ)
其中 i = 1, 2, ..., n
🔄 动画演示控制
步骤：/5