二维随机向量 $\boldsymbol{(X, Y)}$ 分布实验
核心理论
若 $X, Y$ 是定义在同一概率空间上的随机变量，则称 $(X, Y)$ 为二维随机向量。
$$F(x, y) = P(X \le x, Y \le y)$$
对于连续型随机向量，若存在非负函数 $f(x, y)$ 使得：
$$F(x, y) = \int_{-\infty}^{y} \int_{-\infty}^{x} f(u, v) \,du\,dv$$
当前模型：二维正态分布
$$f(x,y) = \frac{1}{2\pi\sigma_x\sigma_y\sqrt{1-\rho^2}}
\exp\left[-\frac{1}{2(1-\rho^2)} Q(x,y)\right]$$
其中 $\rho$ 为相关系数，控制 X 与 Y 的线性相关程度。
联合概率密度曲面 $z = f(x, y)$
拖拽旋转视角，调节参数观察相关性 $\rho$ 的影响
边缘分布与 CDF 投影概念
● 曲面下的体积恒等于 1
● 沿轴切割的截面即为边缘概率密度