二维随机向量 $\boldsymbol{(X, Y)}$ 分布实验

核心理论

1. 随机向量 (Random Vector)

若 $X, Y$ 是定义在同一概率空间上的随机变量，则称 $(X, Y)$ 为二维随机向量。

2. 联合累积分布函数 (Joint CDF)
$$F(x, y) = P(X \le x, Y \le y)$$
3. 联合概率密度函数 (Joint PDF)

对于连续型随机向量，若存在非负函数 $f(x, y)$ 使得：

$$F(x, y) = \int_{-\infty}^{y} \int_{-\infty}^{x} f(u, v) \,du\,dv$$

当前模型：二维正态分布

$$f(x,y) = \frac{1}{2\pi\sigma_x\sigma_y\sqrt{1-\rho^2}} \exp\left[-\frac{1}{2(1-\rho^2)} Q(x,y)\right]$$ 其中 $\rho$ 为相关系数，控制 X 与 Y 的线性相关程度。

联合概率密度曲面 $z = f(x, y)$

拖拽旋转视角，调节参数观察相关性 $\rho$ 的影响

边缘分布与 CDF 投影概念

● 曲面下的体积恒等于 1

● 沿轴切割的截面即为边缘概率密度