随机变量的数字特征

Expectation, Variance, Covariance & Correlation

1. 期望与期望算子 (Expectation) 期望 $E[X]$ 是随机变量取值的加权平均，代表分布的中心位置。 $$E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx \quad \text{或} \quad \sum x_i p_i$$ 算子性质： 线性：$E[aX + bY] = aE[X] + bE[Y]$ 独立乘积：若 $X,Y$ 独立，则 $E[XY] = E[X]E[Y]$

2. 方差与标准差 (Variance)

方差 $D[X]$ 描述变量偏离其期望的程度，即离散度。

$$D[X] = E[(X - E[X])^2] = E[X^2] - (E[X])^2$$ $$\sigma(X) = \sqrt{D[X]}$$

协方差 (Covariance): 衡量 $X, Y$ 的联动方向。 $$Cov(X, Y) = E[(X-E[X])(Y-E[Y])]$$

相关系数 (Correlation): 消除量纲后的线性相关度。 $$\rho_{XY} = \frac{Cov(X, Y)}{\sigma_X \sigma_Y} \in [-1, 1]$$

均值向量 $E[X], E[Y]$

0.00, 0.00

标准差 $\sigma_X, \sigma_Y$

0.00, 0.00

协方差 $Cov(X,Y)$

0.00