随机变量的数字特征
Expectation, Variance, Covariance & Correlation
1. 期望与期望算子 (Expectation)
期望 $E[X]$ 是随机变量取值的加权平均，代表分布的中心位置。
$$E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx \quad \text{或} \quad \sum x_i p_i$$
算子性质：
- 线性：$E[aX + bY] = aE[X] + bE[Y]$
- 独立乘积：若 $X,Y$ 独立，则 $E[XY] = E[X]E[Y]$
2. 方差与标准差 (Variance)
方差 $D[X]$ 描述变量偏离其期望的程度，即离散度。
$$D[X] = E[(X - E[X])^2] = E[X^2] - (E[X])^2$$
$$\sigma(X) = \sqrt{D[X]}$$
3. 协方差与相关系数
协方差 (Covariance): 衡量 $X, Y$ 的联动方向。
$$Cov(X, Y) = E[(X-E[X])(Y-E[Y])]$$
相关系数 (Correlation): 消除量纲后的线性相关度。
$$\rho_{XY} = \frac{Cov(X, Y)}{\sigma_X \sigma_Y} \in [-1, 1]$$
散点特征实时映射
均值向量 $E[X], E[Y]$
0.00, 0.00
标准差 $\sigma_X, \sigma_Y$
0.00, 0.00
协方差 $Cov(X,Y)$
0.00
相关系数 $\rho_{XY}$
0.00