离散型随机变量分布实验

概率质量函数(PMF)与累积分布函数(CDF)的数学可视化

理论定义

设 $$X$$ 是一个定义在样本空间 $$\Omega$$ 上的离散型随机变量，其可能取值为 $$x_1, x_2, \ldots, x_k, \ldots$$。

PMF定义为随机变量取特定值的概率：

$$f_X(k) = P(X = k)$$

性质：$$f_X(k) \ge 0$$ 且 $$\sum_{k} f_X(k) = 1$$

CDF定义为随机变量小于等于某值的概率：

$$F_X(x) = P(X \le x) = \sum_{k \le x} P(X = k)$$

对于离散变量，CDF是右连续的阶梯函数，满足 $$0 \le F_X(x) \le 1$$

虽然离散型分布不使用传统积分，但CDF可以视为PMF的累积和：

$$F_X(x) = \sum_{k=-\infty}^{x} f_X(k)$$

对于连续型分布，CDF是PDF的积分：$$F_X(x) = \int_{-\infty}^{x} f_X(t) dt$$

在 $$n$$ 次独立伯努利试验中，成功次数 $$X$$ 服从二项分布 $$X \sim \text{Binomial}(n, p)$$：

$$P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$$

$$n$$: 试验次数

$$p$$: 单次成功概率

$$k$$: 成功次数

$$0 \le k \le n$$

期望值: $$E[X] = np$$

方差: $$\text{Var}(X) = np(1-p)$$

离散随机变量取每个可能值的概率

$$f(k) = P(X = k)$$

横轴: $$k$$ (成功次数)

纵轴: $$P(X=k)$$ (概率)

随机变量取值小于等于某值的累积概率

$$F(x) = P(X \le x) = \sum_{k \le x} P(X=k)$$

横轴: $$x$$

纵轴: $$F(x)$$ (累积概率)

调整试验次数 $$n$$ 和成功概率 $$p$$，观察分布变化。

鼠标悬停可查看精确值，观察PMF与CDF的对应关系。

CDF的每个阶梯高度等于对应点的PMF值，理解离散型分布的累积特性。