薛定谔方程

薛定谔方程是量子力学的时间演化方程。它不直接告诉我们“粒子沿哪条轨迹走”，而是给出一个复数波函数 ψ：波函数的模平方 |ψ|² 决定概率分布，相位决定干涉与演化。你可以在下方切换自由波包、势阱本征态、叠加拍频和势垒隧穿四种场景，看量子态如何随时间展开、叠加和被势能塑形。

波函数时间演化 Born 概率解释定态与叠加态量子隧穿

iħ ∂ψ/∂t = [ -ħ²/(2m) ∂²/∂x² + V(x) ] ψ

哈密顿算符 Ĥ = T + V 决定量子态的时间演化。

左边是时间变化率，右边是系统的总能量算符。只要知道初态 ψ(x,0) 和势能 V(x)，就能预测后续的量子演化。

[ -ħ²/(2m) ∂²/∂x² + V(x) ] φ = Eφ

本征态只积累整体相位，概率密度通常保持不变。

当波函数写成 φ(x)e^-iEt/ħ 的形式时，空间部分满足定态方程。它是求能级与本征函数的核心工具。

P(x) = |ψ(x,t)|²

测量结果按 |ψ|² 给出的概率分布随机出现。

波函数本身不是“物理云团密度”，而是概率振幅。真正可直接对应观测统计的是它的模平方。

∫ |ψ(x,t)|² dx = 1，⟨x⟩ = ∫ x |ψ|² dx

总概率守恒，期望值描述统计平均而不是单次测量轨迹。

一个可接受的量子态必须可归一化。期望值、方差与不确定度都来自对概率密度的积分。

交互实验区

主图展示 Re(ψ)、Im(ψ) 与 |ψ|²，下图展示势能。你可以暂停、单步推进，或者按照当前分布随机采样一次位置测量。

量子图像最容易混乱的地方，在于同一张图里混合了不同层级的信息。本页里橙线是实部 Re(ψ)，蓝线是虚部 Im(ψ)，绿色填充是概率密度 |ψ|²，底部势能图说明环境如何塑造演化。实部和虚部会随着时间旋转、干涉、重组；而真正能直接对应测量统计的是绿色的 |ψ|²。

先看势能 V(x)势能决定哈密顿量，从而决定允许的本征态、传播速度与边界条件。

再看波函数相位Re(ψ) 与 Im(ψ) 编码了相位信息，相位差决定干涉、拍频和反射透射。

最后看概率密度|ψ|² 决定位置测量的概率分布，也是你能与实验统计直接对比的对象。

别把期望值当轨迹⟨x⟩ 是平均位置，不是一次实验里那颗粒子真的沿着它移动。

本页使用归一化单位，目的是把结构关系和核心机制看清楚，而不是替代严格数值求解器。

定态的整体因子是 e^-iEt/ħ，它只会让复平面里的相位旋转，而不会改变 |ψ|²。于是概率密度保持静止，但实部和虚部仍在时间上持续变化。

多个能量本征态具有不同的相位转速。它们叠加后，相对相位随时间改变，于是概率密度也随之在空间中重分配，这就是拍频和量子振荡。

隧穿不是粒子“临时借能量越墙”，而是波函数在势垒区域内仍有指数衰减但非零的延伸，因此在势垒另一侧保留一部分透射概率。