🎲 凯利公式 (Kelly Criterion)

$$f^* = \frac{bp - q}{b} = \frac{p(b+1) - 1}{b}$$
$f^*$：最优投资比例 · $p$：胜率 · $q = 1-p$：败率 · $b$：净赔率（盈利/亏损）

公式详解

1. 离散收益版本

$$f^*=\frac{bp-q}{b}=\frac{p(b+1)-1}{b}$$

参数说明：$p$ 是胜率，$q$ 是败率，$b$ 是“赢一次净赚多少”的赔率，$f^*$ 是每次应投入的资金比例。

详细说明：这个公式寻找的是长期复利增长率最大的下注比例。它不是让你单次赢最多，而是让资金在多次重复博弈中增长最快。

2. 期望增长解释

$$g(f)=p\ln(1+bf)+(1-p)\ln(1-f)$$

参数说明：$g(f)$ 是在下注比例为 $f$ 时的长期对数增长率。

详细说明：凯利准则本质上是在最大化“长期平均对数财富增长”，所以它天然偏向复利，而不是单局收益最大化。

3. 投资场景下的连续收益率版本

$$f^*=\frac{\mu-r}{\sigma^2}$$

参数说明：$\mu$ 为资产的期望连续收益率，$r$ 为无风险利率，$\sigma$ 为收益率波动率。

详细说明：在投资场景里，若把收益看作连续复利过程，凯利比例可写成“超额收益 / 方差”。这也是资产配置和仓位管理中常见的连续时间近似。

当前使用离散博弈模型：输入胜率和净赔率，查看每次下注比例与财富路径。
凯利最优比例 25.0%
每单位下注期望值 +0.375
凯利对数增长 0.0000
半凯利(保守) 12.5%
💡 当前参数下有正期望值，凯利公式给出了最优下注比例。实际应用中建议使用半凯利以降低波动。
公式展开
当前显示：第 1 次博弈
提示：你可以从第 1 次开始逐步查看过程。三条曲线共用同一组随机场景，便于公平比较；点击“重抽场景”才会换一组新的随机结果。

📘 凯利公式详解

标准介绍：凯利公式（Kelly Criterion）由贝尔实验室科学家约翰·凯利（John L. Kelly Jr.）于1956年提出。其核心公式为 $f^* = \frac{bp - q}{b}$，其中 $p$ 是获胜概率，$q=1-p$ 是失败概率，$b$ 是净赔率。该公式计算的是在重复独立博弈中，能使长期资本增长率最大化的最优下注比例。它最初用于解决电话线路噪声问题，后由爱德华·索普（Edward Thorp）引入投资和赌博领域，成为资金管理的基石理论之一。
通俗理解：如果你发现了一个能赚钱的机会（比如胜率55%，赢了赚1.5倍），你该押上全部身家吗？当然不行——万一输了呢。但押太少又浪费机会。凯利公式就像一个精算器，帮你算出那个“刚刚好”的比例：在这个比例下，你既不会因为押太多而破产，也不会因为押太少而增长过慢，长期来看你的财富会增长得最快。

❓ 解决了什么问题

核心问题 在已知胜率和赔率的重复博弈中，如何分配资本以避免破产并最大化长期财富增长率？传统直觉要么过度保守（收益太低），要么过度激进（终将归零）。凯利公式用数学严格地找到了这个“黄金平衡点”。

⭐ 为什么重要

重要性 它是所有专业资金管理模型的数学基础。巴菲特、查理·芒格和众多量化基金的仓位管理思想均受其影响。在投资中，它提醒我们：即使是最优质的机会，也不应全仓押注，永远要为不确定性留出安全空间。同时，它严格证明了参与“负期望值”游戏（$bp - q < 0$）的长期结果只能是亏损。

🎯 应用场景

• 仓位管理：确定单只股票或策略的最大持仓比例。
• 资产配置：当不同资产有明确的风险收益特征时，计算各自的理论最优权重。
• 赌博/竞技：二十一点、扑克等已知赔率的游戏中，职业玩家用凯利管理资金。
• 创业投资：估算在不同成功率项目上的资本分配。

⚠️ 缺陷与局限

• 要求准确知道胜率和赔率，现实中这两者几乎永远是一个估计区间，而非确定值。
• 全额凯利（Full Kelly）的波动极大，账户回撤可达50%以上，绝大多数人心理上难以承受，因此实践中常用“半凯利”或更保守的比例。
• 假设每次博弈独立且参数恒定，而金融市场中存在相关性、分布厚尾等复杂特征。
• 若高估了自己的胜率优势，使用凯利公式反而会加速亏损。