矩阵运算与线性方程组可视化

探索矩阵加法、数乘、乘法以及线性方程组的动态交互演示

⊕

矩阵加法

相同维度矩阵相加

矩阵数乘

标量乘以矩阵

⊗

矩阵乘法

行乘列法则

线性方程组

矩阵形式求解

矩阵加法

定义与公式

$$ A + B = C $$ $$ c_{ij} = a_{ij} + b_{ij} $$

要求：$A$ 和 $B$ 必须是相同维度的矩阵

示例

$$ A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} $$ $$ A + B = \begin{bmatrix} 2+1 & 3+2 \\ 1+3 & 4+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 5 \\ 4 & 5 \end{bmatrix} $$

操作面板

矩阵A:

矩阵B:

矩阵数乘

定义与公式

$$ kA = B $$ $$ b_{ij} = k \cdot a_{ij} $$

$k$ 为标量，每个元素都乘以 $k$

示例

$$ k = 3, \quad A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} $$ $$ 3A = \begin{bmatrix} 3\times2 & 3\times1 \\ 3\times3 & 3\times4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 3 \\ 9 & 12 \end{bmatrix} $$

操作面板

标量 k:

矩阵A:

矩阵乘法

定义与公式

$$ AB = C $$ $$ c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{kj} $$

要求：$A$ 的列数 = $B$ 的行数

示例

$$ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} $$ $$ AB = \begin{bmatrix} 1\times2+2\times1 & 1\times0+2\times2 \\ 3\times2+4\times1 & 3\times0+4\times2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 4 \\ 10 & 8 \end{bmatrix} $$

操作面板

矩阵A:

矩阵B:

线性方程组

矩阵形式

$$ Ax = b $$ $$ \begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 = b_2 \end{cases} $$

使用克莱姆法则求解： $$ x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)} $$

示例

$$ \begin{cases} 2x + 3y = 8 \\ 1x + 2y = 5 \end{cases} $$ $$ A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}, \quad b = \begin{bmatrix} 8 \\ 5 \end{bmatrix} $$ $$ \text{解: } x = 1, y = 2 $$

操作面板

方程组:

x + y =

可视化展示

矩阵加法

矩阵 A

[2 3; 1 4]

矩阵 B

[1 2; 3 1]

结果矩阵 C

[3 5; 4 5]

矩阵加法动画说明

对应位置元素相加，动画展示每个元素的相加过程。