线性代数交互式实验室

探索矩阵、向量与线性变换的动态可视化。通过交互理解核心概念。

𝑴 矩阵与方阵

一般矩阵表示

$$ A_{m \times n} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} $$

$m \times n$ 矩阵有 $m$ 行 $n$ 列

方阵 ($m = n$)

$$ A_{n \times n} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix} $$

行数与列数相等的特殊矩阵

矩阵转置定义

$$ (A^T)_{ij} = A_{ji} $$ $$ \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} a & c \\ b & d \end{bmatrix} $$

当前矩阵操作

$$ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} $$
→ $A^T$

𝒗 向量与内积

向量表示

$$ \vec{v} \in \mathbb{R}^n $$ $$ \vec{v} = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{bmatrix} = (v_1, v_2, \dots, v_n) $$

$n$ 维实数向量

内积（点积）定义

$$ \vec{u} \cdot \vec{v} = \sum_{i=1}^n u_i v_i $$ $$ = \|\vec{u}\| \|\vec{v}\| \cos\theta $$

度量相似性与夹角

当前向量计算

$$ \vec{u} = [3, 1], \quad \vec{v} = [1, 2] $$
$$ \vec{u} \cdot \vec{v} = (3 \times 1) + (1 \times 2) = 5 $$
$$ \theta = \cos^{-1}\left(\frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|}\right) $$

交互可视化

$\vec{u}$ $\vec{v}$
内积结果
0
向量夹角
θ = 0°

可视化说明

  • 蓝色：向量 $\vec{u} = [3, 1]$
  • 绿色：向量 $\vec{v} = [1, 2]$
  • 内积反映向量间的相似程度